层次分析法学习笔记
概述
层次分析法(AHP法)是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。
三大典型应用
（1）用于最佳方案的选取（选择运动员、选择地址）
（2）用于评价类问题（评价水质情况、评价环境）
（3）用于指标体系的优选（兼顾科学和效率）
基本原理
层次分析法根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解为不同的组成因素，并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型，从而最终使问题归结为最低层(供决策的方案、措施等)相对于最高层(总目标)的相对重要权值的确定或相对优劣次序的排定。
步骤和方法
（1）建立层次结构模型
将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按他们的之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图（将决策问题分为3个或多个层次）。
最高层：目标层。表示解决问题的目的，即层次分析要达到的总 目标。通常只有一个总目标。
中间层：准则层、指标层、…。表示采取某种措施、政策、方案 等实现预定总目标所涉及的中间环节；又分为准则层、指标层、 策略层、约束层等。
最低层：方案层。表示将选用的解决问题的各种措施、政策、方案等。通常有几个方案可选。
对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层
每层有若干元素，层间元素的关系用相连直线表示。
层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相对权重问 题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、措施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形成选择方案的原则。
（2）构造判断（成对比较）矩阵
一致矩阵法
（1）不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较
（2）对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。
判断矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素的相对重要性的比较。
判断矩阵的元素 $a_{ij}$ 用$1-9$标度方法给出。
判断矩阵元素 $a_{ij}$ 的标度方法
| 标度 | 含义 |
|---|---|
| 1 | 表示两个因素相比，具有同样重要性 |
| 3 | 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要 |
| 5 | 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要 |
| 7 | 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要 |
| 9 | 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要 |
| 2，4，6，8 | 上述两相邻判断的中值 |
| 倒数 | 因素$i$与$j$比较的判断$a_{ij}$，则因素$j$与$i$比较的判断$a_{ji}=1/a_{ij}$ |
（3）层次单排序及其一致性检验
对应于判断矩阵最大特征根$λ_{max}$的特征向量，经归一化(使向量中各元素之和等于$1$)后记为$\vec{w}=(w_1,w_2,…,w_n)^T$。
即$\vec{w}$满足$A\lambda_{max}=\lambda_{max}\cdot\vec{w}$且$\sum_{i=1}^n w_i=1$
$\vec{w}$的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。
能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所谓一致性检验是指对$A$确定不一致的允许范围。
定理：$n$ 阶一致阵的唯一非零特征根为$n$
定理：$n$ 阶正互反阵$A$ 的最大特征根$λ\geq n$, 当且仅当$λ=n$ 时$A$为一致阵
一致性指标$CI$
由于$λ$ 连续的依赖于$a_{ij}$ ，则$λ$ 比$n$ 大的越多，$A$ 的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素 影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。 因而可以用 $λ-n$ 数值的大小来衡量 $A$ 的不一致程度。
定义一致性指标: $CI=\frac{λ_{max}-n}{n-1}$
| $CI=0$，有完全的一致性 |
|---|
| $CI $ 接近于$0$，有满意的一致性 |
| $CI$ 越大，不一致越严重 |
随机一致性指标$RI$
为衡量$CI$的大小，引入随机一致性指标$RI$。方法为随机构造$500$个成对比较矩阵$A_1, A_2 ,…, A_{500}$则可得一致性指标$CI_1,CI_2 ,…,CI_{500}$
⭐︎随机一致性指标$RI$表
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| RI | 0 | 0 | 0.58 | 0.90 | 1.12 | 1.24 | 1.32 | 1.41 | 1.45 | 1.49 | 1.51 |
一致性比率$CR$
定义一致性比率：$CR=\frac{CI}{RI}$
一般，当一致性比率$CR=\frac{CI}{RI}<0.1$时，认为$A$的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通过一致 性检验。可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构 造成对比较矩阵$A$，对$a_{ij}$ 加以调整。
一致性检验
一致性检验：利用一致性指标和一致性比率$<0.1$及随机一致性指标的数值表，对$A$进行检验的过程
（4）层次总排序及其一致性检验
计算某一层次所有因素对于最高层(总目标)相对重要性的权值，称为层次总排序。
这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。
$A$层$m$个因素$A_1, A_2 ,…, A_m$,对总目标$Z$的排序为$a_1, a_2 …, a_m$
$B$层$n$个因素对上层$A$中因素为$A_j$的层次单排序为$b_{1j} ,b_{2j},…,b_{nj}\quad( j = 1,2,…, m)$
则 $B$ 层第 $i$ 个因素对总目标的权值为：$B_i=\sum_{j=1}^m a_jb_{ij}$ ,进而可得到$B$层层次总排序
设$B$层$B_1, B_2 ,…, B_n$ 对上层($A$ 层)中因素$A_j\quad ( j= 1,2,…, m)$的层次单排序一致性指标为$CI_j$ ，随机一致性指标 $RI_j$ ， 则层次总排序的一致性比率为：
当 $CR< 0.1$ 时认为层次总排序通过一致性检验。层次总排序具有满意的一致性，否则需要重新调整那些一致性比率高的判断矩阵的元素取值。
到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。
小结
层次分析法的基本步骤归纳如下
（1） 建立层次结构模型
该结构图包括目标层，准则层，方案层。
（2） 构造成对比较矩阵
从第二层开始用成对比较矩阵和1-9尺度。
（3）计算单排序权向量并做一致性检验
对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利 用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。 若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过， 需要重新构造成对比较矩阵。
（4） 计算总排序权向量并做一致性检验
计算最下层对最上层总排序的权向量。
利用总排序一致性比率进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率 $CR$ 较大的成对比较矩阵。